Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c(a>0交x轴于A,B两点，交y轴于C点，A点在B点的左侧,，已知B点坐标为（8，0）

抛物线y=ax^2+bx+c(a>0)交X轴于A B两点，交Y轴于C点，A点在B点的左侧，已知B点坐标为（8，0），tan角ABC=1/2，△ABC面积为8
（1）求抛物线的解析式
（2）若直线EF‖X轴，从C开始，以每秒一个单位长度向X轴平移，与X轴重合时结束，并且交Y轴、线段BC于点E、F。动点P同时从B点以每秒2个长度单位的速度向原点O运动，运动到O结束。连接FP，设运动时间为t秒。问：当t取和值时，1/EF+1/OP的值最小，并求出最小值。
（3）在满足（2）的条件下，存在几个t值，使得点P，B，F构成直角三角形；若存在，请直接写出t的值

Answer 1

解：（1）在Rt△ABC中，∵B点坐标为（8、0），tan∠ABC=1 2 ，
∴OB=8，
而tan∠ABC=OC OB =1 2 ，
∴OC=4，
∴C（0，4），
又∵△ABC的面积为8，
∴8=1 2 ×4×OA，
∴OA=4，
∴A（4，0），
依题意得 0=16a+4b+c 0=64a+8b+c 4=c ，
解之得：a=1 8 ，b=-3 2 ，c=4，
∴y=1 8 x 2 -3 2 x+4；

（2）存在，根据（1）得BA=4，AC=4 2 ，BC=4 5 ，
依题意得：BP=2t，BF=4 5 - 5 t
由△BPF∽△BAC得4 5 - 5 t 4 5 =2t 4 ，得t1=4 3
由△BPF∽△BCA得4 5 - 5 t 4 =2t 4 5 化简，t 2 =20 7
所以：t1=4 3 ，t 2 =20 7 ；

（3）根据（2）得BP=2t，MF∥AP，
又直线AC经过A（4，0），C（0，4），那么其解析式为：y=-x+4，
而动直线EF（EF∥x轴），从C点开始，以每秒1个长度单位的速度向X轴方向平移，与X轴重合时结束，并且分别交y轴、线段CB于E、F两点，AC与EF交于点M，M的纵坐标为4-t，
∴M的横坐标为t，
而EF：OB=CE：OC，
∴EF=2t，
∴MF=2t-t=t，
若M、P、A、F所围成的图形是平行四边形，那么MF=AP，
∴t=8-4-2t=4-2t，
∴t=4 3 ；
若M、P、A、F所围成的图形是等腰梯形，那么AM=PF，
∴t=2，
若M、P、A、F所围成的图形是等腰直角三角形，
那么AP重合，
∴t=24 5 ．

Answer 2

如图

追问

还有的呢？