Question

计算∫∫∫(∑)x^3dydz+y^3dzdx+z^3dxdy ，其中∑为球面x^2+y^2+z^2=a^2的内侧。。要过程哈

我做到∫∫∫(∑){x^3+Y^3+Z^3}dxdydz就不知道怎么算了

Answer 1

不对吧，应该是∫∫(∑)x^3dydz+y^3dzdx+z^3dxdy ？
提示：利用高斯公式，化为三重积分，这时被积函数为x^2+y^2+z^2，积分区域为x^2+y^2+z^2=a^2，用球面坐标，简单

追问

我就是球面公式学得很不到位啊？ 求解 麻烦了

追答

用高斯公式：∫∫(∑)x^3dydz+y^3dzdx+z^3dxdy =3∫∫∫（x^2+y^2+z^2）dxdy dz
用球面坐标变换： 积分区域为0《θ《2π；0《φ《π；0《r《a
∫∫∫（x^2+y^2+z^2）dxdydz=∫∫∫ r^2*sinφ*r^2drdφdθ
=∫dθ*∫sinφdφ∫r^4dr=2π * 2 * 1/5*a^5=4πa^5/5
故：∫∫(∑)x^3dydz+y^3dzdx+z^3dxdy =12πa^5/5