Question

如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（8，0），点B坐标为（0，6），C是线段AB的中点，点P沿A→O→B线路运

如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（8，0），点B坐标为（0，6），C是线段AB的中点，点P沿A→O→B线路运动，当点P运动到点B时停止运动。请问在运动过程中是否存在点P，使得以P、O、C为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出点P坐标，并写出每步的根据；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：存在这样的P点．理由如下：
∵∠AOB=90°，OA=8，OB=6；
∴AB=10．
∵C是线段AB的中点，
∴AC=5．
①如果P与B对应，那么△PAC∽△BAO，
∴PA：BA=AC：AO，∴AP=254，
∴OP=OA-AP=74，∴P（74，0）．
②或如果P与O对应，那么△PAC∽△OAB；
∴PA：OA=AC：AB，
∴PA=4，
∴OP=OA-AP=4
∴P（4，0）．

Answer 2

C(4,3)
AO=8,BO=6
AB=根号(8*8+6*6)=10
AC=AB/2=10/2=5

P、A、C为顶点的三角形与三角形AOB相似,有2种情况
即角APC=90度, 或 角ACP=90度时
三角形APC与三角形AOB相似 或 三角形ACP与三角形AOB相似
AC/AB=AP/AO,或 AC/AO=AP/AB
AP=AC*AO/AB=5*8/10=4 或 AP=AC*AB/AO=5*10/8=25/4
P点坐标为 (8-4,0) 或 (8-25/4, 0)
P点坐标为 (4,0) 或 (7/4, 0)可使得以P、A、C为顶点的三角形与三角形AOB相似