Question

如图,正方形ABCD边长为a,点H、G、F、E分别在AD、DC、CB、AB上，连接AG、DF、CE、BH，两两相交于P、N、Q、M

1）当AH=DG=CF=BE=a/2时
1.四边形PNQM是正方形吗？请说明理由。
2.设四边形PNQM的面积为S，则S=（用含a的代数式表示）
（2）当AH=GD=CF=BE=a/3时，设四边形PNQM的面积为m，则m=（用含a的代数式表示）
当AH=GD=CF=BE=a/4时，设四边形PNQM的面积为K，则K=（用含a的代数式表示）
(3)当AH=GD=CF=BE=a/n时，设四边形PNQM的面积为p
1.四边形PNQM是 A.正方形 B。菱形 C。矩形 D。平行四边形
2.根据上述S、m、n值得规律，先写出四边形PNQM的面积p
（用含n、a的代数式表示），再结合1.中的结果写出p的求解过程
（（（ 满意另有悬赏））
急~~~~~~~

Answer 1

1）1.四边形PNQM是正方形。理由如下：因为AH=DG=CF=BE=a/2（已知），则HD//BF且HD=BF，则四边形BFDH为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形为平行四边形），所以BH//DF（平行四边形对边相互平行），同理AG//CE。所以MP//QN,MQ//PN,则四边形PNQM为平行四边形。又因为三角形AGD与三角形BHA全等（SAS），所以角GAD=角HBA（全等三角形对应角相等），在三角形ABH中，角HBA+角AHB=90°，由上述两个等式得角GAD+角AHB=90°（等量代换），则在三角形AMH中，角AMH=180°-（角MAH+角AHM）=（角GAD+角AHB）=180°-90°=90°，即三角形AHM为直角三角形，而角QMP=角AMH=90°（对顶角相等），所以四边形PNQM为矩形形（一个内角为直角的平行四边形为矩形。又三角形AMH、三角形DPG、三角形CNF、三角形BQE都全等，所以AM=BQ，MN=PG，由BH=AG得：BH-BQ-MH=AG-AM-PG（等量相减，差相等），即MQ=MP，所以四边形PNQM为正方形（临边相等的矩形是正方形）。
2.因为H胃AD中点，且MH//PD，则MH是三角形APD的中位线，所以M为AP的中点。由1）知,角AHB=角AGD，又角AMH=角DAG，所以三角形AMH与三角形ADG相似，由勾股定理得：AG=根号（AD^2+DG^2）=根号5*a/2,所以上述两相似三角形的相似比为：AH：AG=a/2 ：根号5*a/2=根号5/5,所以MP=AM=AD*相似比=(根号5)a/5,则S=MP^2=a^2/5.
（2）实际上，该问的本质在于对于不同的E、F、G、H点的位置，中间的那个四边形PNQM始终为正方形（这是关键），证明的方法与（1）类似，其中涉及到的角相等、边成比例需要大量用到三角形相似来证明。E、F、G、H点的位置在变，2.中提及的那个相似比也在变，只要利用2.中所述的方法（即三角形相似，则对应边成比例），就可以列出m、K与a的关系，得出结果。
（3）（其实我建议，你应该先做这个问题，在做第（2）问，这样就会简单一些，只不过这个题是一个找规律性质的题，出题者想让你按照他的顺序一步一步的探索几何图形的规律）
1.当然选A。
2.从本质上来讲，（3）与（2）是同一个问题，只是（2）要求的是数值解，（3）要求的是公式解，即（2）是（3）的两种特殊情况，而（3）是（2）的推广后的一般情况。所以从证明方法上来看，（3）与（2）的手段完全相同，都是在大量使用三角形相似，只是每一种情况的那个相似比不同而已。希望你能够根据我说的方法自行完成本题，本题的证明不再赘述。如有问题，欢迎追问！