Question

已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆C，其长轴等于4，离心率为2分之根号2

（1）求椭圆C的标准方程（2）若点E（0，1），问是否存在直线l：y=kx+m与椭圆C交于M，N两点，且向量MN的模等于向量NE的模？若存在，求出k的取值范围，若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：a=2 e^2=(c/a)^2=1/2 b^2=a^2--c^2=a^2(1--1/2)=2
标准方程： x^2/4+y^2/2=1 顶点（2,0）（-2,0）（0，根2）（0，--根2）
(2) k为任意实数：证明如下：在椭圆上任取M点，连ME，因E（0,1）在椭圆内，线段ME也在椭圆内，作ME的垂直平分线，该垂直平分线与椭圆总有交点，设交点为N，根据中垂线性质，得：
NM=NE，即向量MN的模等于向量NE的模。向量EN的角为任意角，所以中垂线的K为任意值。