Question

微积分超级难的题~一般人勿入，1道题积分和微分，100分

假定f在区间[-1,1]上连续，区间上有两点a和b，如果f是一个多项式小于等于3，f(a)+f(b)=f(x)的积分，积分上标1，下标-1，你可以从a和b处得到什么？（请考虑方程的多项式线性组合1,x,x^2,x^3）

我也不太懂这个，请大家有多少说多少~~
100分奉上

Answer 1

这个就是高斯积分。
积分[-1,1] (f(x)) dx 的数值积分计算问题，其中的有种很好且常用的方法，叫做高斯积分。一般的近似计算公式形如：
积分[-1,1] (f(x)) dx = 求和[i=1, n] (Ai * f(xi))
其中 Ai 为系数，例如梯形法中梯形的面积。通过选取一些点x1, ...., xn 来近似计算积分。高斯积分的意思就是说，要找最少的点来达到最高的精度。本来 f 只要是在[-1,1]上的可积都可以求，但是如果你点选得好，对多少阶以下的多项式 f 近似计算公式可能根本就是恒成立的。高斯积分就是要使，取更少的点，使得对更高阶的多项式 f 是精确成立的。

定理 x0, ..., xn 是 n+1 阶勒让德多项式 q(x) 的零点，则公式
积分[-1,1] (f(x)) dx = 求和[i=0,n](Ai * f(xi))
对 f 为任意2n+1阶多项式是精确成立的。

勒让德多项式（通过计算正交多项式计算出来的）如下：
p0 (x) = 1；p1 (x) = x；p2 (x) = x^2 - 1/3；p3 (x) = x^3 - 3/5x

对你的问题

加我百度Hi，或者留下QQ，我详细给你解释，这个方面我比较懂。

Answer 2

这实际上就是数值积分的代数精度问题。
2=积分（从-1到1）1dx=f(a)+f(b)=1+1=2恒成立。
0=积分(从-1到1）xdx=f(a)+f(b)=a+b，
2/3=积分（从-1到1）x^2dx=f(a)+f(b)=a^2+b^2，两式联立解得
a，b一个是1/根号(3)，一个是--1/根号(3)。
再考虑三次的，
0=积分（从-1到1）x^3dx=f(a)+f(b)=a^3+b^3，成立。
因此结论为
a，b一个是1/根号(3)，一个是--1/根号(3)。

追问

不大懂，答案似乎是对的，给详细点的解释，再加100分~！！