Question

已知直线I:y=3x+3,求直线x-y-2=0关于l对称的直线的方程

解：由x-y-2=0且3x-y+3=0得:x=-5/2,y=-9/2
则三条直线交于点:(-5/2,-9/2)
设所求直线方程为:y+9/2=K(x+5/2)
由直线x-y-2=0到直线3x-y+3=0的角,与直线3x-y+3=0到所求直线的角相等得:
(3-1)/(1+3),=(K-3)/(1+3k)
所以,K=-7
所以所求直线方程为:7x+y+22=0

为什么 由直线x-y-2=0到直线3x-y+3=0的角,与直线3x-y+3=0到所求直线的角相等得:
(3-1)/(1+3),=(K-3)/(1+3k)

Answer 1

因为3x-y+3=0是两条对称直线的对称轴，由平面几何知识可以证明：对称轴是两条轴对称直线的角平分线。【逆命题也成立】

由斜率与倾角正切的关系，以及两角差的正切公式，设原直线倾角为α，对称轴直线倾角为β，轴对称直线倾角为γ
则 k原=1；k轴=3；k求=k => tanα=1 ; tanβ=3 ; tanγ=k
而 β-α=γ-β => tan(β-α)=tan(γ-β) => (tanβ-tanα)/(1+tanαtanβ)=(tanγ-tanβ)/(1+tanγtanβ)
将相应值代入，即得到如题所给的式子。