Question

设数列{an}的前n项和为Sn,且3Sn=an+4。（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足bn=3Sn，求数列...

设数列{an}的前n项和为Sn,且3Sn=an+4。（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足bn=3Sn，求数列{bn}的前n项和Tn

Answer 1

【一】
当n=1时，3S1=a1＋4，因S1=a1，则：a1=2；
当n≥2时，由：3Sn=an＋4及3S(n－1)=a(n－1)＋4
两式相减，得：
3an=an－a(n－1)
[an]/[a(n－1)]=－1/2=常数
则数列{an}是以a1=2为首项、以q=－1/2为公比的等比数列，得：an=2×(－1/2)^(n－1)
【二】
3Sn=an＋4，且bn=3Sn，则：
bn=an＋4
Tn=(a1＋a2＋…＋an)＋(4＋4＋…＋4)=Sn＋4n=(1/3)(an＋4)＋4n=(1/3)[2×(－1/2)^(n－1)＋4]＋4

Answer 2

(1). n=1时；
3a1=a1+4 —> a1=2
n>=2时；
3Sn=an+4 （1）
3S(n-1)=a(n-1)+4 （2）
（1）-（2）得 3an=an-a(n-1) —> an=-1/2 *a(n-1) = (-1/2)^(n-1) *a1
所以数列{an}的通项为：an =(-1)^(n-1)(1/2)^(n-2)
(2). 由（1）得 {an}是以 q=-1/2 的等比数列
Sn=a1+a2+...+an=4-（1/2）^(n-2)
Tn=b1+b2+...+bn=3*[S1+S2+...+Sn]=3*{4n-4*[1-(1/2)^(n-1)]}
——> Tn=12(n-1)+12(1/2)^(n-1)