Question

已知D为三角形ABC的边BC的中点，DE和DF为角ADB和角ADC 角平分线，求证：BE+CF大于EF

Answer 1

延长FD至G,使DG=FD,连BG,EG.
∵BD=CD,
∴△BDG≌△CDF(SAS),
∴BG=CF.
∵DE和DF为角ADB和角ADC 角平分线，
∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=(1/2)∠ADB+(1/2)∠ADC
=(1/2)∠BDC=90°，
∴EF=EG(垂直平分线性质），
∴BE+CF=BE+BG>EG=EF.
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过C做AB的平行线与ED的延长线交与M
BD=CD
∠B=∠BCM，∠BDE =∠CDMA
△BDE≌△CDM
CM=BE DE=DM
∠EDF =∠EDA+∠ADF
=1/2（∠BDA+∠ADC）
=1/2×180°=90°
∠FDM=90°
△EDF≌△FDM
EF =FM
在△CFM中
CM+CF＞FM
BE+CF＞EF