Question

如右图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PA=AD，F为PD的中点，E为BC的中点

（1）求证AF⊥平面PDC
（2）求直线AC与平面PCD所成角的余弦值
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Answer 1

1、∵PA⊥平面ABCD，
∴AD是PD在平面ABCD上的射影，
∵四边形ABCD是正方形，
∴CD⊥AD，
∵CD∈平面ABCD，
∴PA⊥CD，
∵PA∩AD=A，
∴CD⊥PAD。
∵AF∈平面PAD，
∴CD⊥AF，
∵PA=AD，F是PD的中点，
∴AF⊥PD，（等腰△三线合一），
∵PD∩CD=D，
∴AF⊥平面PDC。
2、由前所述，AF⊥平面PCD，
∴AC在平面PDC上的射影是CF，
∴AC与平面PCD的成角是〈ACF，
∵〈PAD=90°，
∴△PAD是RT等腰△，
PD=√2AD=2√2，
AF=PD/2=√2，
AC=√2AB=2√2，
∵AF⊥平面PDC，
CF∈平面PDC，
∴AF⊥CF，
根据勾股定理，CF=√(AC^2-AF^2)=√6，
∴cos<ACF=CF/AC=√3/2，
直线AC与平面PCD所成角的余弦值为√3/2。