Question

如图， 在正方形ABCD中，P是对角线BD上任意一点，作PE⊥BC于E，PE⊥CD于F。

（1）求证AP=EF；
（2）求证AP⊥EF；
（3）将条件“P是对角线BD上任意一点”改为“P是直线BD上任意一点”，其他条件不变，则结论（1）（2）还成立吗？请画出图形，并证明。

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Answer 1

（1）
延长FP交AB于G
易证:PG=EB=EP
AG=DF=FP
所以,两个直角三角形△APG≌△FEP
所以AP=EF

（PS：也可以这么证：
易证PCEF为矩形，连结PC
则：EF=CP
易证△APD≌△CPD
所以AP=CP
所以AP=EF）

(2)延长AP交EF于Q
则∠FPQ=∠APG
而由△APG≌△FEP知:∠PFQ=∠GAP
所以,∠PQF=180-(∠FPQ+∠PFQ)
=180-(∠APG+∠GAP)
=∠AGQ
=90
所以:AP⊥EF

Answer 2

PFCG是矩形，EF＝PC[ 矩形对角线 ]＝PA [ ⊿PAB≌⊿PAC﹙SAS﹚]
∠CFE＝∠FCP[ ⊿PFC≌⊿ECF﹙SAS﹚]＝∠DAP[⊿PDC≌⊿PDA﹙SSS﹚]
∠CFE+∠PGF＝∠DAP+∠DGA＝90º ∴∠FIA＝90º AP⊥EF
.﹙⑴,⑵证明的写法几乎与⑶完全一样。﹚

追问

可以自己想么

追答

这个题太简单，我不想浪费时间

追问

好吧