Question

已知二次函数y=x05+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点P,顶点为C(1,-2)

求此函数关系式

Answer 1

解：y=x²+bx+c
∵顶点为C(1,-2)
∴ -b/2=1
-2=1²+b+c
解得：b=-2，c=-1
∴函数解析式为：y=x²-2x-1

Answer 2

解：（1）∵y=x2+bx+c的顶点为（1，-2）．
∴y=（x-1）2-2，y=x2-2x-1；

（2）设直线PE对应的函数关系式为y=kx+b，根据A，B关于对称轴对称，
可以得出AC=CB，AD=BD，点C关于x轴的对称点D，
故AC=BC=AD=BD，
则四边形ACBD是菱形，
故直线PE必过菱形ACBD的对称中心M．
由P（0，-1），M（1，0），
得b=-1k+b=0​
从而得y=x-1，
设E（x，x-1）代入y=x2-2x-1得x-1=x2-2x-1，
解得x1=0，x2=3，
根据题意得点E（3，2）；

（3）假设存在这样的点F，可设F（x，x2-2x-1），
过点F做FG⊥y轴，垂足为G点．
在Rt△POM和Rt△FGP中，
∵∠OMP+∠OPM=90°，∠FPG+∠OPM=90°，
∠OMP=∠FPG，
又∠MOP=∠PGF，
∴△POM∽△FGP
∴OMOP=
GPGF
∵OM=1，OP=1，
∴GP=GF，即-1-（x2-2x-1）=x，
解得x1=0，x2=1，
根据题意得F（1，-2）
以上各步均可逆，故点F（1，-2）即为所求，
S△PEF=S△MFP+S△MFE=12×2×1+
12×2×2=3．