Question

请教一道二项式定理 排列之类的数学证明题

证明：1C1/n+2C2/n+3C3/n+……+nCn/n=n*2^(n-1)。
那个C什么就是前面一个C，后面上面是1，下面是n，n中取1个那个。

Answer 1

这种题目看都不要看，直接数学归纳法
n=1时，左边=n=右边，成立
设n=k时，该式成立：1C1/k+2C2/k+3C3/k+……+kCk/k=k*2^(k-1)
则当n=k+1时，
对于第i项，C i/(k+1)=C i/k+C(i-1)/k
故iC i/(k+1)=i[C i/k+C(i-1)/k]
注意最后一项不要动,最后一项为k+1
因此1C1/(k+1)+2C2/(k+1)+...+iC i/(k+1)+……+(k+1)C(k+1)/(k+1)
=(1C1/k+2C2/k+…+kCk/k)+[1C0/k++2C1/k+…+kC(k-1)/k]+（k+1）
=k*2^(k-1)+[1C0/k++2C1/k+…+kC(k-1)/k]+（k+1）
=k*2^(k-1)+[C0/k+C1/k+…+C(k-1)/k]+[C1/k+2C2/k+…+(k-1)C(k-1)/k]+（k+1）
｛ 注意：C0/k+C1/k+…+C(k-1)/k=2^k-1，
C1/k+2C2/k+…+(k-1)C(k-1)/k=k*2^(k-1)-k（即n=k的情况） ｝
=k*2^(k-1)+(2^k-1)+[k*2^(k-1)-k]+(k+1)
=k*2^(k-1)+2^k+k*2^(k-1)
=(k+1)*2^k,得证
故……

写得比较复杂，但都是按你那种写法形式，认真看

Answer 2

(1+x)^n=C(n,0)+C(n,1)x+C(n,2)x^2+C(n,3)x^3+.....+C(n,n)x^n
两边取导数
n(1+x)^(n-1)=C(n,1)+2C(n,2)x+3C(n,3)x^2+.....+nC(n,n)x^(n-1)
两边令x=1
即得： n*2^(n-1)=C(n,1)+2C(n,2)+3C(n,3)+.....+nC(n,n)

Answer 3

解答：（图片可以放大看）

Answer 4

利用经典的变换kC(k,n)=nC(k-1,n-1)

则1C(1，n)+2C(2，n)+3C(3，n)+……+nC(n，n)
=nC(0，n-1)+nC(1，n-1)+nC(2，n-1)+nC(n-1，n-1)
=n[C(0，n-1)+C(1，n-1)+C(2，n-1)+C(n-1，n-1)]
=n*2^(n-1)