Question

m为何值时，f（x)=x^2+2mx+3m+4 (1）有且仅有一个零点②有两个零点且均比-1大（3）若f(x)有一个零点x∈

m为何值时，f（x)=x^2+2mx+3m+4 (1）有且仅有一个零点②有两个零点且均比-1大（3）若f(x)有一个零点x∈（0,1）求m的取值范围

Answer 1

第一个问题：
显然，f（x）＝x^2＋2mx＋3m＋4是一条开口向上的抛物线，
∴要使函数有且仅有一个零点，就需要抛物线与x轴相切，
即方程x^2＋2mx＋3m＋4＝0的判别式＝0，∴4m^2－4（3m＋4）＝0，∴m^2－3m－4＝0，
∴（m－4）（m＋1）＝0，∴m＝4，或m＝－1。
∴当m为4或－1时，f（x）＝x^2＋2mx＋3m＋4有且仅有一个零点。

第二个问题：
要使函数有两个零点，就需要抛物线与x轴相交，
即方程x^2＋2mx＋3m＋4＝0的判别式＞0，∴（m－4）（m＋1）＞0，∴m＜－1，或m＞4。

∵两个零点均大于－1，∴方程x^2＋2mx＋3m＋4＝0的两根均大于－1，
∴抛物线f（x）＝x^2＋2mx＋3m＋4的对称轴在点（－1，0）的右侧，且f（－1）＜0。
∵抛物线f（x）＝x^2＋2mx＋3m＋4的对称轴方程为x＝－m，∴－m＞－1，∴m＜1。
∴m＞4是不合理的，应舍去。

又f（－1）＝1－2m＋3m＋4＝m＋5，∴m＋5＜0，∴m＜－5。
由m＜－5、m＜1、m＜－1，得：m＜－5。
∴当m＜－5时，f（x）＝x^2＋2mx＋3m＋4有两个均大于－1的零点。

第三个问题：
一、当满足x∈（0，1）的零点在抛物线对称轴的左侧时，
　　需要－m＞1，且f（0）＜0。
　　由－m＞1，得：m＜－1。
　　由f（0）＜0，得：3m＋4＜0，∴m＜－4/3。
　　由m＜－1、m＜－4/3，得：m＜－4/3。
　　∴当m∈（－∞，－4/3）时，f（x）＝x^2＋2mx＋3m＋4有一个零点x∈（0，1）。

二、当满足x∈（0，1）的零点在抛物线对称轴的右侧时，
　　需要－m＜0，且f（1）＜0。
　　由－m＜0，得：m＞0。
　　由f（1）＜0，得：1＋2m＋3m＋4＜0，∴m＜－1。
　　由m＞0、m＜－1可知，这是不合理的，应舍去。

综上所述，得：当m∈（－∞，－4/3）时，f（x）＝x^2＋2mx＋3m＋4有一个零点x∈（0，1）。