Question

求函数F(X)=积分号，积分上限为X,下限为0，t（t-4）dt在[-1,5]上的最大值和最小值。 具体解答过程

Answer 1

这是积分上限函数的导数，求出来就行
解：F'(x)=x(x-4)，比较F(0)、F(4)、F(-1)、F(5)就可以
因为t（t-4）的一个原函数是t^3/3-2t^2，
F(0)=0，F(4)=16/3，F(-1)= -4/3，F(5)=50/3

Answer 2

f(x)=∫[0,x] t(t-4)dt
f'(x)=x(x-4)
x=0,f'(x)=0
x=4,f'(x)=4
x<0, f'(x)>0
0<x<4,f'(x)<0
x>4,f'(x)>0
x=0最大值f(0)=0
x=4最小值f(4)=∫[0,4]t(t-4)dt=t^3/3-2t^2|[0,4]=64/3-32=-32/3

Answer 3

F(x)=积分(0,x)t(t-4)dt
=积分(0,x)(t^2-4t)dt
=(0,x)([(1/3)t^3-2t^2)
=(1/3)x^3-2x^2
F'(x)=x(x-4)=0，则x1=0、x2=4。
F(-1)=-1/3-2=-7/3、F(0)=0、F(4)=64/3-32=-32/3、F(5)=125/3-50=-25/3。
F(x)在区间[-1,5]上的最大值是F(0)=0、最小值F(4)=-32/3。