Question

已知函数f(x)=ax的平方+x-1+3a(aR)在区间 [-1,1]上有零点,求实数a的取值范围

Answer 1

f(x)=ax²+x-1+3a(a属于R)在区间 [-1,1]上有零点
即ax²+x-1+3a=0在[-1,1]上有实数解
即a(x²+3)=1-x
即 a=(1-x)/(x²+3)有实数解
令 g(x)=(1-x)/(x²+3)则
a的范围即是g(x)的值域
g'(x)=[-x²-3-2x(1-x)]/(x²+3)²
=(x²-2x-3)/(x²+3)²
=(x+1)(x-3)/(x²+3)²
∵-1≤x≤1∴ (x+1)(x-3) ≤0
∴ g'(x)≤0
∴g(x)是减函数
∴x=-1 g(x)max=1/2
x=1,g(x)min=0
∴g(x)值域为[0,1/2]
∴实数a的取值范围是[0,1/2]

方法2：
i）如果在区间【-1，1】上只有一个零点，则 f(-1)*f(1)<=0 ，
即 (a-1-1+3a)(a+1-1+3a)<=0 ，化简得 (4a-2)(4a)<=0 ，
所以 0<=a<=1/2 ；
ii）如果在区间【-1，1】上有两个零点，则
(1) a≠0(二次项系数不为0，保证是二次函数)；
(2) -1<1/(-2a)<1(对称轴在区间内)；
(3) 1-4a(3a-1)>0(判别式为正，有两个零点) ；
(4) 【a>0且f(-1)>0且f(1)>0】 或 【a<0且f(-1)<0且f(1)<0】
(a>0时，抛物线开口向上，函数在x=-1和x=1处的值均为；
a<0时，抛物线开口向下，函数在x=-1和x=1处的值均为负)
分别解上述四个不等式组成的不等式组，得空集，
所以，所求a的取值范围是 【0，1/2】。

Answer 2

看起来一楼的回答比较合运算方法和步聚。