Question

如图,在平面直角坐标系中有Rt△ABC,角A=90°,AB=AC,A(-2,0)，B（0，1），C（d，2）

（1）求d的值
（2）将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点D、E正好罗在某反比例函数图像上，求出这个反比例函数和此时的直线DE的解析式
（3）在（2）的条件下，直线DE交y轴与点G。问是否存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P，使四边形PGME是平行四边形。如果存在，请求出点M和点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）线段AC的长为 √(d+2)^2+4
线段AB的长为 √(-2)^2+1
线段BC的长为 √(d-0)^2+1
因为AB=AC，所以√(-2)^2+1=√(d+2)^2+4
解得d=-1 或者d=-3
又因为角A=90°,所以d=-3
（2）由（1）知B（0，1），C（-3，2）
沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点D、E的坐标
分别记为：（a，1），（a-3，2），
设反比例函数y=b/x(b≠0)
则b/a=1,
b/(a-3)=2
解得 a=b= 6
反比例函数y=6/x
直线DE 的解析式为： （y-1）/(x-6)=(2-1)/(3-6)
即 y=-(1/3)x+3
(3)假设存在这样的点M和点P满足题设
则可设M（x1,0） P(x2, 6/x2)
则由题可知,点G(0,3) E(3,2)
根据斜率公式 有[（6/x1)-3]/x1=2/(3-x2)
[(6/x1)-2]/(x1-3)=3/(-x2)
解得x1=6 x2=9
此时这四点M（9,0） P(6, 1) E(3,2) G(0,3) 共线
所以不存在这样的两点

Answer 2

(1) A(5,0)
设抛物线y=ax²+bx
A,B坐标代入解得 a= -1/6 b=5/6
y = - x² / 6 + 5/6 x

(2) AB与对称轴的交点(5/2 , -5/4)即为所求

(3) 设P(m,n)
S(△PAB)
= 1/2 (m+3)(n +4) + 1/2 (8 +n)(5-m) - 8*4/2
= 4n - 2m +10
= 4(-m²/6 +5/6 m) - 2m +10
= -2/3 m² + 4/3 m +10
= -2/3 (m-1)² + 32/3
当m=1即 P(1,2/3)时，Smax = 32/3

Answer 3

画图找点，解方程