Question

有关酉矩阵的证明题

设A是n阶复矩阵，若A可逆，证明A可以分解成A=UR，其中U是酉矩阵，R是对角线元素都是正实数的上三角矩阵，并证明这种分解是惟一的

Answer 1

类似QR分解的证明即可。
用数学归纳法也行。n=1时结论成立。设结论对n-1成立，则对n阶可逆阵A，记r11=||a1||>0，u1=a1/r11是单位向量，并将其扩展为n维空间的一个正交基u1，u2，...，un，
令V=【u1，....，un】，则存在矩阵n--1阶阵B使得
A=V【r11 *
0 B】，显见B是可逆的，由归纳假设有存在n--1阶酉阵W，使得
B=WR1，R1是n--1阶上三角阵。
令U=V【1 0 R=【r11 *
0 W】 0 R】
则有A=UR是满足要求的分解。
再证唯一性。
若A=U1R1=U2R2，则U1^*U2=R1*R2^(-1)，注意到U1^*U2是酉阵，R1*R2^(--1)是
上三角阵，既是酉阵又是上三角阵的矩阵只能是对角阵，且对角元是e^(ia)形式的数，
而R1*R2^(--1)的对角元都是正数，因此只能有对角元是1，即R1*R2^(--1)=E，
R1=R2，故U1=U2。