Question

用拉格朗日中值定理证明SINX<=X (X>0)

Answer 1

f(x)=arcsinx+arccosx在[-1,1]连续,在(-1,1)可导,由拉格朗日中值定理
一定在[-1,1]中找到一个c点
使得
f(c)=[f(1)-f(-1)]/(1-(-1))
又这个式子可以计算得π/2
该定理的推论是：如果函数f(x)在区间i上的导数恒为零,则f(x)在区间i上是一个常数
(arcsinx)'=1/(1-x^2)^1/2
(arccosx)'=-1/(1-x^2)^1/2
所以f'(x)=0
得证

Answer 2

对于函数f(x)=x-sinx
在区间[0，x]上运用拉格朗日中值定理得：
存在一点x0，0<x0<x,使得
f'(x0)=(f(x)-f(0))/(x-0)
即存在一点x0，使得
1-cos(x0)=(x-sinx)/x
而x>0,1-cos(x0)>=0
所以x-sinx>=0
所以sinx<=x(当x>0时)

Answer 3

对于函数f(x)=x-sinx
在区间[0，x]上运用拉格朗日中值定理得：
存在一点x0，0
0,1-cos(x0)>=0
所以x-sinx>=0
所以sinx<=x(当x>0时)