Question

已知四面体ABCD的棱长都相等，E,F,G,H分别为AB,AC,AD以及BC的中点。求证：面EHG垂直面FHG

Answer 1

取GH中心M，连接EM，FM，连接EF由于四面体棱长都相等，且E,F,G,H分别为AB,AC,AD以及BC的中点,知三角形EGH、FGH均为以GH为底的等腰三角形EM，FM均垂直于GH角EMF为面EHG与FHG的夹角,只要证明此角为90度即可，即三角形EFM为等腰直角三角形设棱长为a则:EF=a/2DG=/a2DH=sqrt(3)a/2GH=sqrt(3/4a^2-a^2/4)=sqrt(2)/2*aEH=a/2EM=sqrt(EH^2-MH^2)=sqrt(a^2/4-2a^2/16)=sqrt(2)/4*aEM和FM和对称关系，FM＝EM＝sqrt(2)/4*aFM^2+EM^2=a^2/8+a^2/8=a^2/4=EF^2故三角形EFM为等腰直角三角形面EHG垂直面FHG