Question

求教一道几何题

四边形ABCD为正方形,DE平行于AC,连接AE,交CD于F,连接CE,使得CE=CF
现在判断AC是否等于AE? 若成立,请证明.若不成立,请说明不成立理由
求过程,谢谢.

Answer 1

证明：如图所示，顺时针旋转△ADE90°得到△ABG，连接CG．

∵∠ABG=∠ADE=90°+45°=135°，

∴B，G，D在一条直线上，

∴∠ABG=∠CBG=180°-45°=135°，

在△AGB与△CGB中，{AB=AC∠ABG=∠CBGBG=BG，

∴△AGB≌△CGB（SAS），

∴AG=AC=GC=AE，

∴△AGC为等边三角形，

∵AC⊥BD（正方形的对角线互相垂直），

∴∠AGB=30°，

∴∠EAC=30°，

∴∠AEC=30°+45°=75°，

又∵∠EFC=∠DFA=45°+30°=75°，

∴CE=CF．

追问

看来没用到CE=CF这个条件

Answer 2

AC=AE
证明：假设AC=AE
连接BD与AC交于点O,过点E作EG垂直AC于G
所以角OGE=90度
因为ABCD是正方形
所以角ACD=45度
OA=1/2AC OD=1/2BD
AC=BD
AC垂直BD
所以角DOG=90度
所以角DOG+角OGE=180度
所以OD平行GE
因为DE平行AC
所以ODGE是矩形
所以OD=GE
所以GE=1/2AC
因为角AGE=90度
所以角EAC=30度
因为AC=AE
所以角ACE=角AEC
因为角AEC+角ACE+角EAC=180度
所以角AEC=角CEF=75度
因为角CFE=角EAC+角ACD=30+45=75度
所以角CFE=角CEF=75度
所以CF=CE
因为CF=CE
所以假设成立
所以AC=AE

追问

这个过程是证明另一个命题
这有点像循环论证,由结论直接得到结论.

追答

假设证明法是几何证明法的一种，是假设证明已成立，倒推和已知条件相符，那么这个假设成立，证明方法就是假设证明法，这道题就是用假设证明法正，一般用于题很难的题，常规方法无法证，就可用假设法正，这种方法在几何中经常见。

Answer 3

AC=AE
证明：
因为 DE平行于AC
所以 角EDF=角ACD=45° 角DEF=角CAF
因为 CF=CE
所以 角EFC=角FEC=角DFA
由三角形外角定理得 角FAC+角ACF=角DEF+角FDE
即 角FAC=角FCE
所以 三角形ACE相似于三角形CEF
所以 角ACE=角AEC
即 AC=AE

追问

角FAC=角FCE 还是看不出,不知怎么出来的