Question

已知{an}为等差数列,且a1=2,a1+a2+a3=12。令bn=an·2^an,求数列｛bn｝的前n项和Tn

Answer 1

a1+a2+a3=3a2=12
a2=4
d=a2-a1=2
an=2+2(n-1)=2n
bn=2n*2^2n=2n*4^n
Tn=2*4+4*4^2+6*4^3+....+2n*4^n
4Tn=2*4^2+4*4^3+6*4^4+...+2n*4^(n+1)
Tn-4Tn=2(4+4^2+4^3+...+4^n)-2n*4^(n+1)
-3Tn=2*4*(4^n-1)/(4-1)-2n*4^(n+1)=8/3*(4^n-1)-8n*4^n
所以Tn=-8/9*(4^n-1)+8/3n*4^n

Answer 2

解：
a1+a2+a3=3a2=12
a2=4
d=a2-a1=4-2=2
数列{an}是以2为首项，2为公差的等差数列。
an=2+2(n-1)=2n
bn=an×2^(an)=2n×2^(2n)=2n×4ⁿ
Tn=b1+b2+...+bn=2(1×4+2×4²+3×4³+...+n×4ⁿ)
4Tn=2[1×4²+2×4³+...+(n-1)×4ⁿ+n×4^(n+1)]
Tn-4Tn=-3Tn=2[4+4²+...+4ⁿ-n×4^(n+1)]
=2[4×(4ⁿ-1)/(4-1) -n×4^(n+1)]
=2[(1/3)×4^(n+1)-4/3 -n×4^(n+1)]
=2[(1-3n)×4^(n+1)/3 -4/3]
Tn=(-2/3)[(1-3n)×4^(n+1)/3 -4/3]=(3n-1)×2^(2n+3)/9 +8/9

Answer 3

先求出a2=4 进而解出an （等差）
bn是一个等差乘以等比 运用错位相减法求解 楼上答案正确