Question

如图,平行四边形ABCD的四个内角的平分线围成一个EFGH.求证：四边形EFGH是矩形 .

要完整的过程

Answer 1

∵ABCD是平行四边形

∴∠ADC=∠ABC

又∵BQ平分∠ABC,即∠ABQ=∠CBQ

      DP平分∠ADC即∠ADP=∠PDC

∴∠ABQ=∠CBQ=∠ADP=∠PDC

∵AB∥DC

∴∠ABQ=∠BQC

∴∠PDC=∠BQC

∴PD∥BQ

同理AM∥NC

∴EFGH是平行四边形

又∵∠ABC+∠DCB=180°

∴∠CBQ+∠BCN=90°

∴∠BGC=∠FGH=90°

∴四边形EFGH是矩形

Answer 2

如图所示，平行四边形ABCD各角的平分线相交于EFGH
∵∠CAB＋∠ABD＝180°
∴∠FAB＋∠FBA＝90°
在三角形AFB中，∠AFB＝90°
∵∠EFG与∠AFB是对顶角
∴∠EFG＝90°
同理可证 ∠FEH=90° ∠EHG=90° ∠HGF＝90°
∴四边形EFGH为矩形。