Question

求解一道高中数学题。第17题

Answer 1

对于第一问用数学归纳法证明：（这种问题第一感觉就是数学归纳法，除非很容易直接缩放）；
先验证，再做归纳假设，重点第三步证明n=k+1时，证明a（k+1）＞√（2k+3）；
f(x)=x+1/x在[1,+∞]是增函数，故a（k+1）=an+1/an＞(√2k+1+1/√2k+1)
)故只需要证明(√2k+1)+(1/√2k+1)＞√（2k+3）；…………移项之后分子有理化
即(1/√2k+1)＞2 / (√2k+3+√2k+1) ；显然成立。

第二问：个人觉得用商来比较简单点；
b（n+1）/bn=√(n/(n+1))*(a(n+1)/an)=√(n/(n+1))*( 1+1/(an^2) )
代入an＞√（2n+1），得：b（n+1）/bn＜√（4n(n+1)/(2n+1)^2）＜1;
所以b（n+1）<bn

Answer 2

数学归纳法b（n+1）/bn=√(n/(n+1))*(a(n+1)/an)=√(n/(n+1))*( 1+1/(an^2) )
代入an＞√（2n+1），得：b（n+1）/bn＜√（4n(n+1)/(2n+1)^2）＜1;
所以b（n+1）<bn 证明a（k+1）＞√（2k+3）；f(x)=x+1/x在[1,+∞]是增函数，故a（k+1）=an+1/an＞(√2k+1+1/√2k+1))故只需要证明(√2k+1)+(1/√2k+1)＞√（2k+3即(1/√2k+1)＞2 / (√2k+3+√2k+1) ；