Question

高一数学三角函数题目

已知f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤π/2 )为奇函数,且图像上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为2√10
（1）求函数f(x)的解析式
（2）求f(1)+f(2)+f(3)+......+f(102)的值
过程详细！

Answer 1

首先你要知道sina此类三角函数的对称轴为π／2
kπ，对称中心为kπ，k为整数。应为你说的这个函数其实就是一个复合函数：外函数为y=sina，内函数为a=2x
5／2π，那么只需令2x
5／2π=π／2
kπ，解得：对称轴为x=（k／2-1）π，k为整数。者表示这个三角函数的任意一条对称轴，令k=任意整数，就是其中一条对称轴了。同理，令2x
5／2π=kπ，解得对称中心为
x=（k／2-5／4）π，赋予k任意整数，也得到其中一条对称轴。

Answer 2

（1）f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤π/2 )为奇函数,
∴φ=0，
图像上相邻的一个最高点和最低点之间的距离=√[(T/2)^2+2^2]=2√10,
平方得(T/2)^2+4=40,其中T是f(x)的最小正周期，
∴T/2=6=π/ω,
∴ω=π/6，
∴f(x)=sin(πx/6).
(2)f(12+k)=f(k),f(12-k)=-f(k),102=12*8+6，f(6-k)=f(k),k∈N+,
∴原式=f(1)+f(2)+……+f(6)=2[f(1)+f(2)]+f(3)=2+√3.

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Answer 3

在三角函数中，找对称轴，就是找最大值或最小值的点，找对称中心就是找式函数为0的点（对于没有常数项的函数）。
那么，当y=sin(2x+5/2π)=±1时，即2x+5/2π=π/2+kπ（k=0，±1，±2，······）
所以原函数的对称轴为x=（k-2）π/2+kπ/2，（k=0，±1，±2，······）
当y=sin(2x+5/2π)=0时，即2x+5/2π=kπ，（k=0，±1，±2，······）
所以原函数的对称中心为（3π/4+kπ/2,0），（k=0，±1，±2，······）

Answer 4

奇函数满足f（0）=0 所以sin（φ）=0 φ=kπ 因为|φ|≤π/2， 所以φ=0 最低点和最高点之间的距离=2√10，存在这样一个直角三角形，其中两个顶点分别为最高点和最低点，两点连线为直角三角形的斜边，长为2√10，而两条直角边分别为2和三角函数周期的一半，由此可解出三角函数周期的一半=6，故三角函数的周期=12，T=2π/ω=12，ω=π/6，所以f(x)=sin(πx/6)

由三角函数图像可以知道，f(1)+f(2)+f(3)+......+f(12)=0
所以f(1)+f(2)+f(3)+......+f(102)=f(97)+f(98)+f(99)+......+f(102）=f(1)+f(2)+f(3)+......+f(6）=1/2+√3/2+1+√3/2+1/2+0=2+√3

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