Question

高数题，求极限

如图所示，求极限

Answer 1

对数后得到
ln(sinx/x)/x^2
x趋于0时候，上下都趋于0，用l'hospital法则
(ctgx-1/x)/2x=(xcosx/sinx-1)/2x^2=(xcosx-sinx)/(2*x^2*sinx)
利用等价无穷小替换sinx为x，继续用l'hospital法则得到
-xsinx/6x^2=-1/6
极限为e^(-1/6)

追问

(ctgx-1/x)/2x=(xcosx/sinx-1)/ 2x^2
在这一步不可以使用等价无穷小吗？替换sinx为x 这样不就等于（cosx-1）/2x^2 再cosx-1~-1/2x^2 式子=-1/4 这样极限不就是e^(-1/4) 吗？这个过程有什么漏洞吗？

追答

替换等价无穷小只可以在乘法的时候使用
具体是乘以x再除以x
然后计算sinx/x的极限是1，所以是等价无穷小
在加法时是不能用的，原因是会等价无穷小的阶数是不一样的，你学了泰勒级数展开就明白了

Answer 2

+1-1 之后再 倒到抄 用重要极限2 之后洛必达或等价无穷小

追问

这是书上给的答案

求过程

追答

解 limx→0（1+（sinx/x）-1）^{1/[（sinx/x）-1]}*{（sinx/x）-1}*1/x^2
=e^limx→0 {（sinx-x）/x^3}
等价无穷小limx→0有x-sinx=x^3/6
所以原式=e^（-1/6）
或者连续三次洛必达也可以
^上的东西全在幂的位置上
中间有跳步但是是通分的过程，很简单的通分即可
e的出现是因为limx→0（1+△）^（1/△）=e
欢迎追问

Answer 3

x->0时sinx/x=1,将括号里写成(1+(sinx/x-1)),
利用lim(z->0)[(1+z)^(1/z)]=e将原式进行变换，再求极限

Answer 4