Question

如图所示,在四边形ABCD中,AD//BC,AB=DC=AD,∠ABC=∠C=60°,AE⊥BD于点E

，F是CD的中点，求证：四边形AEFD是平行四边形

如图所示，AD是△ABC的中线，F是AC上一点，且CF=2AF，连接BD交AD于点E，求证：BE=3EF

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Answer 1

1）证明：作AM∥DC，AM交BC于M
∵AM∥DC，AD∥MC
∴AMCD是平行四边形 【两组对边分别平行的四边形】
∴AM=CD（=AB） AD=MC 【平行四边形性质】
∴△ABM是等边三角形 【有一个角是60°的等腰三角形】
∴BM=AB（=AD=MC） => AD=BC/2
∵AE⊥BD AD=AB
∴ E是BD的中点
∴EF是△DBC的中位线 【两中点的连线】
∴ EF∥=BC/2
∴EF∥=AD
∴AEFD是平行四边形 【一组对边平行且相等的四边形是平行四边形】

2）题中 “连接BD交AD于点E”是“连接BF交AD于点E”之误吧？

证明：作DN∥BF DN交AC于N
∵D是BC中点 DN∥BF
∴DN是△BCF的中位线 => DN∥=BF/2 CN=NF=CF/2
∵CF=2AF => AF=FN=CF/2
∴EF是△ADN 的中位线 【EF∥DN、F是AN中点】
∴DN=2EF
而 BF=2DN
∴ BF=4EF
∴BE=BF-EF=4EF-EF=3EF