Question

一元二次方程的应用题

一元二次方程的应用：某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000kg，购进价格为每千克30元.物价部门规定单价不得高于每千克70元，也不得低于每千克30元，市场调查发现，单价定为70元时，日均销售60千克;单价每降低1元，日均多售出2千克，在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）.设销售单价为x元，日均获利y元
①求y与x的二次函数表达式，并注明自变量的取值范围；
②单价定为多少元时，日益获利最多？是多少？

Answer 1

（1）由日均获利y=（售价-成本）×销售量-其他费用400元，由此关系式列出函数关系式；
（2）由（1）中的关系式配方，求最大值
解：（1）由题意
y=（x-30）[60+2×（70-x）]-400
=-2x2+260x-6400（30≤x≤70）；
（2）y=-2（x-65）2+2050．
当单价定为65元时，日均获利最多，是2050元．
当日均获利最多时：
单价为65元，日均销售为：60+2×（70-65）=70kg，
那么获利为：2050×（7000÷70）=205000元．
当销售单价最高时单价为70元，
日均销售60kg，将这种化工原料全部售完需7000÷60≈117天，
那么获利为（70-30）×7000-117×400=233200元．
因为233200＞205000，且233200-205000=28200元，
所以，销售单价最高时获利更多，且多获利28200元．

Answer 2

y=(x-30)[60+2(70-x)]-500
=-2x^2+260x-6500 (30<=x<=70)

y=-2x^2+260x-6500=-2(x-65)^2+1950
由此当x=65时，函数值最大，为1950
因此单价定位65元时，日益获利最多，是1950元

Answer 3

解：若销售单价为x元，则每千克降低（70-x）元，日均多销售出2（70-x）千克，日均销售量为[60+2（70-x）]千克，每千克获利（x-30）元．依题意，得
y=（x-30）[60+2（70-x）]-500，
=-2x2+260x-6500（30≤x≤70），
即y=-2x2+260x-6500（30≤x≤70）．