Question

如图①,P为△ABC内一点,连接PA、PB、PC

如图1，P为△ABC内一点，连接PA，PB,PC,在△PAB,△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点。

（1）如图2，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC>∠A,CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E.试说明E是△ABC的相似点；

（2）在△ABC中，∠A<∠B<∠C.

①如图3，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；

②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数。

Answer 1

解：⑴在Rt △ABC中，∠ ACB＝90°，CD是AB上的中线，∴ ，∴CD=BD． 　　∴∠BCE＝∠ABC．∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°，∴∠BEC＝∠ACB．∴△BCE∽△ABC． 　　∴E是△ABC的自相似点． 　　⑵①作图略．（根据画角等的方法，画出两个角就行了） 　　作法如下：（i）在∠ABC内，作∠CBD＝∠A； 　　（ii）在∠ACB内，作∠BCE＝∠ABC；BD交CE于点P． 　　则P为△ABC的自相似点． 　　②连接PB、PC．∵P为△ABC的内心，∴ ， ． 　　∵P为△ABC的自相似点，∴△BCP∽△ABC． 　　∴∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC=2∠PBC =2∠A， 　　∠ACB＝2∠BCP=4∠A．∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°． 　　∴∠A+2∠A+4∠A＝180°． 　　∴ ．∴该三角形三个内角的度数分别为720/7 、180/7 、360/7 ．