Question

一道初二的有关角平分线的数学题

如图，四边形ABCD中AB+BC=CD+DA，∠ABC的外交角平分线与∠CDA的外交角平分线交于点P。求证：∠APB=∠CPD

Answer 1

如图所示

作AE垂直PB交MB与点E，作AF垂直PD交DN于F

因为DP是角CDA的外角平分线，AF垂直PD

所以AD=DF，AP=FP, 角3=角4

同理可得： AB=EB， AP=EP, 角APB=角EPB

又因为AB+BC=CD+DF

所以EB+BC=CD+DF 即 EC=CF

同时AP=FP=EP, 则三角形EPC和三角形FPC全等

所以∠EPC=∠FPC

∠EPC=2∠BPA+∠APC

∠CPF=2∠3-∠APC

在∠DPF内做一个与∠APC相等的角，则由于对称，可明显得出所要证的两个角相等

Answer 2

如图，在BM上取BE=BA，在DN上取DF=DA。连结PE、PF。

易知△PBA≌△PBE，△PDA≌△PDF。则∠EPB=∠APB，∠DPF=∠DPA，PE=PA=PF。

又∵AB+BC=CD+DA，∴CE=CF。∴△CEP≌△CFP。∴∠CPE=∠CPF。

（为表述清楚）设∠APB=x，∠CPD=y，∠APC=z，则∠EPB=∠APB=x，∠DPF=∠DPA=y+z。

∠CPE=2x+z，∠CPF=2y+z。则2x+z=2y+z。得x=y。即∠APB=∠CPD。

Answer 3

AD+BC=AB
过E作EF垂直于AB
因为BE平分∠CBA
所以∠CBE=∠ABE
又∠C=∠BFE=90°
BE为公共边
所以△BCE全等于△BFE
所以BC=BF
则AD+BC=AB
同理，三角形ADE全等于三角形AFE
所以AD=AF
所以

Answer 4

你打错了吧

追问

哪里打错了？

追答

∠CDA的外交角平分线交于点P..........怎么看也交不到一起去啊

追问

。。。。。。。。难道你考试就看图？（图只是更方便我们做题而已。。。。。。）

追答

如图，在BM上取BE=BA，在DN上取DF=DA。连结PE、PF。
易知△PBA≌△PBE，△PDA≌△PDF。则∠EPB=∠APB，∠DPF=∠DPA，PE=PA=PF。
又∵AB+BC=CD+DA，∴CE=CF。∴△CEP≌△CFP。∴∠CPE=∠CPF。
（为表述清楚）设∠APB=x，∠CPD=y，∠APC=z，则∠EPB=∠APB=x，∠DPF=∠DPA=y+z。
∠CPE=2x+z，∠CPF=2y+z。则2x+z=2y+z。得x=y。即∠APB=∠CPD。

Answer 5

过E点作AB的垂线EF
∵
∠C=∠BFE
BE=BE
∠CBE=∠EBA
∴△BCE≌△BFE
∴BC=BF
同理
∴△ADE≌△AFE
∴AD=AF
AD+BC=AB