Question

已知正项数列｛an｝｛bn｝满足，对任意正整数n，都有an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列

且a1=10，a2=15
求证：数列(根号Bn)是等差数列
求数列{an},{bn}通项公式
设Sn=1/(a1)+1/(a2)+1/(a3)+....1/(an)如果对任何正整数n,不等式2aSn<2-(bn/an)横成立。 求实数a的范围。

Answer 1

1.证明：
因为bn,a（n+1）,b（n+1）成等比数列，所以[a（n+1）]²=bnxb（n+1）(n∈N*)
a（n+1）=√[bnxb(n+1)]
所以an=√[bnxb(n-1)] (n≥2)
因为an,bn,a(n+1)成等差数列，所以2bn=an+a(n+1) (n∈N*)
所以2bn=√[bnxb(n-1)]+√[bnxb(n+1)]=√bn[√b(n-1)+√b(n+1)] (n≥2)
2√bn=√b(n-1)+√b(n+1) （n≥2）
所以数列{√bn}是等差数列。
2.解：
因为a1=10，a2=15，所以2b1=a1+a2=25,b1=25/2,√b1=5√2/2
因为an=√[b(n-1)xbn],(n≥2),所以a2=√b1√b2,√b2=a2/√b1=3√2
所以d=√b2-√b1=√2/2，所以√bn=5√2/2 +(n-1)(√2/2)=2√2+√2n/2
所以bn=(2√2+√2n/2)²=n²/2+4n+8(n≥2)
因为当n=1时，解得b1=25/2,所以bn=n²/2+4n+8(n∈N*)
an=√bnxb(n-1)=√(2√2+√2n/2)²[2√2+√2(n-1)/2]²
=(2√2+√2n/2)[2√2+√2(n-1)/2]
=8+2n+2(n-1)+n(n-1)/2
=n²/2+7n/2+6 (n≥2)
因为当n=1时，解得a1=10,所以an=n²/2+7n/2+6 (n∈N*)
3.解：
因为Sn=1/(a1)+1/(a2)+1/(a3)+....1/(an)(n∈N*),2aSn<2-(bn/an)恒成立
所以2aSn<2-(bn/an)，所以a<[2-(bn/an)]/2Sn (n∈N*)
因为Sn=1/(a1)+1/(a2)+1/(a3)+....1/(an)(n∈N*)
=1/(a1)+1/(√b1√b2)+1/(√b2√b3)+....1/[√b(n-1)√bn]
=1/10+√2(1/√b1-1/√b2+1/√b2-1/√b3+1/√b3-1/√b4+...+1/√b(n-1)-1/√bn)
=1/10+√2(1/√b1-1/√bn)
=1/10+√2[√2/5-1/(2√2+√2n/2)]
=1/10+[2/5-1/(2+n/2)]
=1/2-2/(n+4)
因为bn/an=√bn/√b(n-1)
=(2√2+√2n/2)/[2√2+√2(n-1)/2]
=(8+n)/(8+n-1)
=(n+8)/(n+7)
所以[2-(bn/an)]/2Sn=[2-(n+8)/(n+7)]/[1-4/(n+4)]
=[(n+6)/(n+7)]/[n/(n+4)]
=(n+6)(n+4)/n(n+7)
因为对任何正整数n,不等式2aSn<2-(bn/an)恒成立。所以a小于(n+6)(n+4)/n(n+7)的最小值，即
a＜(1+6)(1+4)/(1+7)
＜35/8。

Answer 2

1.........bn,a【n+1】,b【n+1】成等比则
a&2 【n+1】=bn*b【n+1】
a【n+1】=根号（bn*b【n+1】）
an=根号（b【n-1】*bn）
an,bn,a【n+1】成等差则
2bn=an+a【n+1】
2bn=根号（b【n-1】*bn）+根号（bn*b【n+1】）=根号bn(根号b【n-1】+根号b【n+1】）
2根号bn=根号b【n-1】+根号b【n+1】
所以数列(根号Bn)是等差数列

2.....................由1知2b1=a1+a2=25
b1=25/2 根号b1=5根号2/2
an=根号（b【n-1】*bn）
a2=根号(b1*b2)
b2=a2^2/b1=225/(25/2)=20
根号b2=2根号5
d=根号b2-根号b1=
抱歉楼主。。。我只能帮到这里了，希望有人接着做我不会了，望指教

Answer 3

11