Question

高中数学题，在线等，求高手解答

定义函数f(x)={1,x<0
e^x,x≥0，以下几个命题中：
①存在实数a，使f(a)乘于f(-a)=1
②任意a，b属于R，都有f(a^2)+f(b^2)≥2f(ab)
③存在实数a,b，使f(a)+f(b)=f(ab)
④任意a，b属于R，都有f(a)乘于f(b)≥f(a+b)
正确的个数有多少个？
答案是4个，求高手解释

Answer 1

这是一个分段函数，在 x<0 和 x>=0 上有不同定义。
（1）a=0 时成立。正确
（2）a^2>=0，b^2>=0 ，因此 f(a^2)+f(b^2)=e^(a^2)+e^(b^2) ，以下是均值不等式。正确
（3）a=b= -√(ln2) ，左边=1+1=2 ，右边=f(ln2)=e^(ln2)=2 。正确
（4）当 a、b 都是负数时，左=右=1 ；
当 a、b 都是正数时，左=e^a*e^b=e^(a+b) ，右=e^(a+b) ；
如果 a、b 至少有一个为 0 ，如 a=0 ，则左=1*f(b)=f(b) ，右=f(b) ；
如果 a、b 一正一负，如 a<0，b>0 ，左=1*f(b)=e^b ，右=e^(a+b) ，由于 b>a+b ，因此 左>右。
所以正确的有四个。