Question

定积分的应用，第9题

Answer 1

楼上的答案对了，但是解释完全错了，严重概念错误。

追问

这个怎么来的？？？

追答

追问

有其他方法吗？

追答

有其他方法，只是计算起来困难一些：

(上面的图片解答，最后一个错字，设就是壳层法，应改为这就是壳层法。So sorry)

追问

想问一下，旋转轴不在图形上，不是不能直接求吗？

上面那个是减去右半侧吧？

追答

1、旋转轴，无论在不在图形上，圆盘法、壳层法，都不受限制，
只是计算的难度变大而已；
2、y=sinx在0到π的图形围绕y轴的旋转体积是等于，
从½π到π的曲线旋转所形成的大的体积，减去从0到π½曲线旋转所形成的小的体积。
也就是½π右侧的曲线的旋转体积减去½π左侧的曲线的旋转体积。

追问

那么老师说的那种旋转轴要在图形上才能求，不在就要转化，用“挖”的方法求是怎么样的？

追答

1、“旋转轴要在图形上才能求”，你的老师说这句话，是错的，会产生严重误导；

2、用挖的方法，只是指外围曲线旋转产生的体积，其中已经包围了内侧曲线旋转产生的空心，
这个空心必须除去，也就是再积分一次，然后相减即可。
3、你的老师的说法，前后合在一起，只是大概正确，因为他讲的只是用圆盘法解题时的情况。
而用壳层法解题，就可以一步到位，不存在什么减不减的事情。

追问

为什么定义域是0和1?

追答

我明白你的问题所了：
1、y = sinx，在½π到π这一段曲线，围绕y轴旋转得到一个大的回旋体积；

2、这个体积的计算，是从x轴起，平行于x轴做一个个切片，每个切片都是圆盘；
3、圆盘的半径是x，面积是πx²，高是dy，体积是πx²dy；
4、由于高是dy，也就是对y积分，因为积分的上下限总是根据d后面的变量确定，
所以本题的积分上下限是从0到1；
【注意：积分的上下限不是由被积函数确定，而是由d后面的变量确定】
5、由于被积函数的自变量是x，而积分却是对y进行，所以，必须调整，使两者一致；
6、如果把被积函数改成y的函数，则积分区间[0，1]就不需要改变；
如果把dy里的y改成x，积分区间就必须改变；
7、本题我们的解题方法，就是把y=sinx代入到dy中，这就是改变积分变量y，改到dx，
dy = dsinx = cosxdx，这就改成了，变成对x积分了；
8、原来对y的积分的下限是0，现在必须是π；原来的y是1时，先在必须改成½π，
这样积分的区间就变成了[π，½π]；
至于左半侧的空心旋转体积的积分，方法是完全一样的，积分的上下限也是完全一样确定。

不知道这样讲解，你明白了吗？
不要着急，细细理解，一旦真正理解了，微积分就没有那么恐怖。

由于太多的教师，只是灌输，他们自己一知半解、死搬硬套的，比比皆是。
学微积分，要背的知识很少很少，理解最重在，只要理解透了，一切就一马平川了。

追问

你写了这么多，我要慢慢看呢，谢谢你这么认真的回答我的问题，十分感谢

???

上限和一次限不是从左到右的吗？

最后一个问题了

谢谢

？？？求求你啦

追答

"上限和一次限不是从左到右"

这句话只能大概说说而已，严格当成定论就错了，
就错把一维的积分概念生搬硬套到了多重积分了。

1、如果是计算曲线所围面积，对x积分，确实是从左到右；如果是对y积分，则是从下到上；
2、如果是二重积分，要根据具体题意决定：
例如：圆盘法里是对厚度积分，dx就意味从左到右，dy就意味从下往上；
在dx的情况下，被积函数，很可能是y的函数；
如果改成dy积分，则必须根据积分区域的函数寻找对应的上下限，
结果可能是从上往下积分，也可能是从下往上积分。
在dy的情况下，被积函数，很可能是x的函数；
如果改成dx积分，则必须根据积分区域的函数寻找对应的上下限，
结果可能是从左往右积分，也可能是从右往左积分。
总的来说：
1、多重积分中，第一个先积分的变量，确实从负方向积到正方向；
2、如果改变积分变量的次序，先对谁积分，从哪个方向积分积到哪个方向，由积分区域决定。

Got it？

追问

嗯嗯

Answer 2

2派平方

追问

过程

追答

先求出一个平面的面积

再乘周长

和底面积乘高一样

周长为派