Question

如下图所示：在等腰直角三角形ABC中，D是斜边AB的中点，过AB上任一点P作PE垂直AC于E，PE垂直BC于F

求证：DE=DF，DE垂直于DF

Answer 1

【PF⊥BC于F】
证明：
连接CD
∵PE⊥AB，PF⊥BC，∠ACB=90º
∴四边形CEDF是矩形
∴EP=CF
∵∠A=45º
∴三角形AEP是等腰直角三角形
∴AE=EP=CF
∵D是斜边AB的中点
∴CD=½AB=AD【斜边中线等于斜边一半】
∠BCD=½∠ABC=45º，CD⊥AB【三线合一】
∴∠A=∠BCD
∴⊿ADE≌⊿CDF（SAS）
∴DE=DF
∠ADE=∠CDF
∵∠ADE+∠CDE=90º
∴∠EDF=∠CDF+∠CDE=90º
即DE⊥DF