Question

设总体X的概率密度为f(x)={(a+1)x^a，0}其中a>—1是未知参数……求a 的矩估计量和最大似然估计量（见下图

请给出详细解答步骤，谢谢

Answer 1

解答：

矩估计：

E(x)

=∫_(0,1) x * (θ+1)x^θ dx

=∫_(0,1) (θ+1)x^(θ+1) dx

=(θ+1)/(θ+2)*x^(θ+2) |_(0,1)

=(θ+1)/(θ+2)

令E(x)=(Σxi)/n

则θ=1/(1-(Σxi)/n) - 2

极大似然估计：

ln p(x1, x2, ..., xn) = ln f(x1) + ln f(x2)... + ln f(xn)

=n ln(θ+1) + θ Σln(xi)

对θ求导，令导数等于0得

n/(θ+1) + Σln(xi) = 0

θ = -n/Σln(xi) - 1

由来

它是由英国统计学家皮尔逊Pearson于1894年提出的，也是最古老的一种估计法之一。对于随机变量来说，矩是其最广泛，最常用的数字特征，主要有中心矩和原点矩。 

由辛钦大数定律知，简单随机样本的原点矩依概率收敛到相应的总体原点矩，这就启发我们想到用样本矩替换总体矩，进而找出未知参数的估计，基于这种思想求估计量的方法称为矩法。用矩法求得的估计称为矩法估计，简称矩估计。

Answer 2