Question

已知Rt三角形ABC中,角C=90度,点O在边上AB上,以O为圆心OA为半径的圆与AC,AB分别交于点D,E,且角A=角CBD.(...

已知Rt三角形ABC中,角C=90度,点O在边上AB上,以O为圆心OA为半径的圆与AC,AB分别交于点D,E,且角A=角CBD.(1)判断直线BD于圆O的位置关系,并证明你的结论.(2)若BC=2,BD=2.5,求AD:AO的值

Answer 1

(1)
因为AE是圆O的直径，
所以，∠ADE=90°
因为∠C=90°
所以，DE∥BC
∠CBD=∠BDE=∠A
∠AED=∠ABC
因为OD=OE
所以∠AED=∠ODE
所以∠ODE=∠ABC
因为∠A+∠ABC=90°
所以，∠ODB=∠ODE+∠BDE=∠A+∠ABC=90°
所以，直线BD与圆O相切。

(2)
因为∠A=∠CBD
∠C=∠ADE=90°
所以，△ADE∽△BCD
所以：AD：AE=BC：BD=2:2.5=4:5
因为AE=2AO
所以：AD：2AO=4:5
AD：AO=8:5 =8/5

Answer 2

（1）连接OD
∵OA=OD
∴∠A=∠ODA
∠CBD=∠ODA
∠ODB=180°-(∠ODA+∠BDC)=180°-(∠CBD+∠BDC)=180°-90°=90°
OD⊥BD
BD于圆O相切
（2）延长DO，交圆O于G
∵∠BDC=∠ODA
Rt△BCD∽Rt△DAG
∴AD:DG=BC:BD=2:2.5
DG=2AO
AD:AO=2AD:DG=4:2.5=1.6

Answer 3

（1）因为∠A=∠CBD，∠BDC=90-∠A；∠ADB=180-∠BDC=90+∠A
因为AO=OD，∠A=∠ADO，∠ODB=∠ADB-∠ADO=90+∠A-∠A=90;
所以BD垂直于OD，与圆O为切线关系。
（2）过O点做AC的垂线，交AC于F点，由于∠A=∠CBD，直角三角形AFO与直角三角形BCD相似；则有AO:AF=BD:BC=5:4，由于AO=OD，F为AD的中点，则AD:AO=2*AF:AO=8:5

Answer 4

连OD，∵∠A=∠CBD，
∠A=∠ODA，∴∠ODA=∠CBD，
又∠CBD+∠CDB=90°，
∴∠ODA+∠CDB=90°，
∴∠BDO=90°，即BD⊥OD，
BD与圆相切。
2.过D作DF⊥AC交AC于F，
∵∠A=∠CBD，
∴△AOF∽△BDC，
设BC=2t,BD=5t/2=2.5t,
BD/BC=AO/AF，
BD/BC=2.5t/2t=2.5/2
AF=1/2AD
AO/1/2AD=2.5/2
2.5/2AD=2AO
AD/AO=4/2.5