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已知Rt三角形ABC中,角C=90度,点O在边上AB上,以O为圆心OA为半径的圆与AC,AB分别交于点D,E,且角A=角CBD.(... 40
已知Rt三角形ABC中,角C=90度,点O在边上AB上,以O为圆心OA为半径的圆与AC,AB分别交于点D,E,且角A=角CBD.(1)判断直线BD于圆O的位置关系,并证明...
已知Rt三角形ABC中,角C=90度,点O在边上AB上,以O为圆心OA为半径的圆与AC,AB分别交于点D,E,且角A=角CBD.(1)判断直线BD于圆O的位置关系,并证明你的结论.(2)若BC=2,BD=2.5,求AD:AO的值
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(1)
因为AE是圆O的直径,
所以,∠ADE=90°
因为∠C=90°
所以,DE∥BC
∠CBD=∠BDE=∠A
∠AED=∠ABC
因为OD=OE
所以∠AED=∠ODE
所以∠ODE=∠ABC
因为∠A+∠ABC=90°
所以,∠ODB=∠ODE+∠BDE=∠A+∠ABC=90°
所以,直线BD与圆O相切。
(2)
因为∠A=∠CBD
∠C=∠ADE=90°
所以,△ADE∽△BCD
所以:AD:AE=BC:BD=2:2.5=4:5
因为AE=2AO
所以:AD:2AO=4:5
AD:AO=8:5 =8/5
因为AE是圆O的直径,
所以,∠ADE=90°
因为∠C=90°
所以,DE∥BC
∠CBD=∠BDE=∠A
∠AED=∠ABC
因为OD=OE
所以∠AED=∠ODE
所以∠ODE=∠ABC
因为∠A+∠ABC=90°
所以,∠ODB=∠ODE+∠BDE=∠A+∠ABC=90°
所以,直线BD与圆O相切。
(2)
因为∠A=∠CBD
∠C=∠ADE=90°
所以,△ADE∽△BCD
所以:AD:AE=BC:BD=2:2.5=4:5
因为AE=2AO
所以:AD:2AO=4:5
AD:AO=8:5 =8/5
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(1)连接OD
∵OA=OD
∴∠A=∠ODA
∠CBD=∠ODA
∠ODB=180°-(∠ODA+∠BDC)=180°-(∠CBD+∠BDC)=180°-90°=90°
OD⊥BD
BD于圆O相切
(2)延长DO,交圆O于G
∵∠BDC=∠ODA
Rt△BCD∽Rt△DAG
∴AD:DG=BC:BD=2:2.5
DG=2AO
AD:AO=2AD:DG=4:2.5=1.6
∵OA=OD
∴∠A=∠ODA
∠CBD=∠ODA
∠ODB=180°-(∠ODA+∠BDC)=180°-(∠CBD+∠BDC)=180°-90°=90°
OD⊥BD
BD于圆O相切
(2)延长DO,交圆O于G
∵∠BDC=∠ODA
Rt△BCD∽Rt△DAG
∴AD:DG=BC:BD=2:2.5
DG=2AO
AD:AO=2AD:DG=4:2.5=1.6
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(1)因为∠A=∠CBD,∠BDC=90-∠A;∠ADB=180-∠BDC=90+∠A
因为AO=OD,∠A=∠ADO,∠ODB=∠ADB-∠ADO=90+∠A-∠A=90;
所以BD垂直于OD,与圆O为切线关系。
(2)过O点做AC的垂线,交AC于F点,由于∠A=∠CBD,直角三角形AFO与直角三角形BCD相似;则有AO:AF=BD:BC=5:4,由于AO=OD,F为AD的中点,则AD:AO=2*AF:AO=8:5
因为AO=OD,∠A=∠ADO,∠ODB=∠ADB-∠ADO=90+∠A-∠A=90;
所以BD垂直于OD,与圆O为切线关系。
(2)过O点做AC的垂线,交AC于F点,由于∠A=∠CBD,直角三角形AFO与直角三角形BCD相似;则有AO:AF=BD:BC=5:4,由于AO=OD,F为AD的中点,则AD:AO=2*AF:AO=8:5
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2012-05-16
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连OD,∵∠A=∠CBD,
∠A=∠ODA,∴∠ODA=∠CBD,
又∠CBD+∠CDB=90°,
∴∠ODA+∠CDB=90°,
∴∠BDO=90°,即BD⊥OD,
BD与圆相切。
2.过D作DF⊥AC交AC于F,
∵∠A=∠CBD,
∴△AOF∽△BDC,
设BC=2t,BD=5t/2=2.5t,
BD/BC=AO/AF,
BD/BC=2.5t/2t=2.5/2
AF=1/2AD
AO/1/2AD=2.5/2
2.5/2AD=2AO
AD/AO=4/2.5
∠A=∠ODA,∴∠ODA=∠CBD,
又∠CBD+∠CDB=90°,
∴∠ODA+∠CDB=90°,
∴∠BDO=90°,即BD⊥OD,
BD与圆相切。
2.过D作DF⊥AC交AC于F,
∵∠A=∠CBD,
∴△AOF∽△BDC,
设BC=2t,BD=5t/2=2.5t,
BD/BC=AO/AF,
BD/BC=2.5t/2t=2.5/2
AF=1/2AD
AO/1/2AD=2.5/2
2.5/2AD=2AO
AD/AO=4/2.5
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