Question

在双曲线(X^2)/25-(Y^2)/9=1上求一点,使它到直线l:x-y-3=0的距离最短,并求这个最短距离

Answer 1

设切线为X-Y+b=0, (X^2)/25-(Y^2)/9=1 ①
｛ 将②平方得Y^2=X^2+2bX+b^2 并代入①中
Y=X+b ②

化简得16b^2+50bX+25b^2+225=0
因为相切时只有一个交点，即方程只有一解
所以b^2-4ac=(50b)^2-4*16*(25b^2+225）=0
解得b=4或-4

所以与双曲线相切且与直线l:x-y-3=0 平行的直线方程为X-Y+4=0 或X-Y-4=0
显然直线X-Y-4=0 比 X-Y+4=0 离 直线l:x-y-3=0 更近 所以取X-Y-4=0

(X^2)/25-(Y^2)/9=1 ①
｛ 可解出X和Y （X,Y)即为所求点坐标
X-Y-4=0 ②

再利用平行线之间的距离公式（见课本P48） 得最短距离

Answer 2

设切线为X-Y+b=0,Y=X+b代入双曲线方程，求出b，取其中一个，再在求出的直线上任取一点，根据距离公式d=绝对值（X0+Y0+b)/根号（1的平方+1的平方）就可求出最短距离。