Question

如图1，在△ABC中，AB=BC=5，AC=6

如图1，在△ABC中，AB=BC=5，AC=6，△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，连接AE、AC、BE，且AC和BE相交于点O．
（1）求证：四边形ABCE是菱形；
（2）如图2，P是线段BC上一动点（不与B、C重合），连接PO并延长交线段AE于点Q，过Q作QR⊥BD交BD于R．
①四边形PQED的面积是否为定值？若是，请求出其值；若不是，请说明理由；
②当∠PQR=∠EBC时，求线段BP的长

Answer 1

菱形的证明就不写了  （2）.QE恒等于BP（△QOE总是全等△BOP）

∴四边形PQED的面积=（QE+PC）h  ÷2=2BC·h  ÷2 =BC·h=四边形ABCE的面积∴ 为定值

四边形PQED的面积=对角线乘积的一半=6X8 ÷2=24

Answer 2

（1）证明：∵△ABC沿BC方向平移得到△ECD，
∴EC=AB，AE=BC，
∵AB=BC，
∴EC=AB=BC=AE，
∴四边形ABCE是菱形；
（2）①四边形PQED的面积是定值，理由如下：
过E作EF⊥BD交BD于F，则∠EFB=90°，
∵四边形ABCE是菱形，
∴AE∥BC，OB=OE，OA=OC，OC⊥OB，
∵AC=6，
∴OC=3，
∵BC=5，
∴OB=4，sin∠OBC＝OC/BC=3/5，
∴BE=8，
∴EF＝BE•sin∠OBC＝8×3/5=24/5，
∵AE∥BC，
∴∠AEO=∠CBO，四边形PQED是梯形，
在△QOE和△POB中
∠AEO＝∠CBOOE＝OB∠QOE＝∠POB
∴△QOE≌△POB，
∴QE=BP，
∴S梯形PQED=1/2(QE+PD)×EF
=1/2（BP+DP）×EF
=1/2×BD×EF
=1/2×2BC×EF
=BC×EF
=5×24/5
=24；
②△PQR与△CBO可能相似，
∵∠PRQ=∠COB=90°，∠QPR＞∠CBO，
∴当∠QPR=∠BCO时，△PQR∽△CBO，此时有OP=OC=3．
过O作OG⊥BC交BC于G．
∵∠OCB=∠OCB，∠OGC=∠BOC，
∴△OGC∽△BOC，
∴CG：CO=CO：BC，
即CG：3=3：5，
∴CG=9/5
∴PB=BC-PC=BC-2CG=5-2×9/5=7/5
备注：上文中“/”为分数线

Answer 3

这得需要一会儿时间！