Question

设3元齐次线性方程组{ax1+x2+x3=0,x1+ax2+x3=0,x1+x2+ax3=0}（1）确定当a为何值时，方程组有非零解；（2）

（2）当方程组有非零解时，求出它的基础解系和全部解.

Answer 1

系数行列式 |A|=
a 1 1
1 a 1
1 1 a
= (a+2)(a-1)^2

所以当 a=-2 或 a= 1 时, 方程组有非零解.

a= 1 时
A =
1 1 1
1 1 1
1 1 1
-->
1 1 1
0 0 0
0 0 0
方程组的基础解系为 a1=(-1,1,0)', a2=(-1,0,1)'
全部解为 k1a1+k2a2

a = -2 时
A=
-2 1 1
1 -2 1
1 1 -2

r3+r1+r2,r1+2r2
0 -3 3
1 -2 1
0 0 0

r1*(-1/3), r2+2r1
0 1 -1
1 0 -1
0 0 0

方程组的基础解系为 a3=(1,1,1)'
全部解为 k3a3

Answer 2

（1）
矩阵 a 1 1 1 a 1
1 a 1 变换为 0 1-a a-1
1 1 a 0 0 a^2+a-2
当a^2+a-2=0有解时a=1或a=-2 此时 方程组有非零解
（2） 由（1）中确定的a值，便可求解基础解系

Answer 3

但系数矩阵等于零时有非零解，看一下线代书