Question

如何求二重积分！！！！求详细过程 求y^2/x^2的二重积分，D是x^2+y^2=2x围成的，~老师说用极坐标~

Answer 1

x^2+y^2=2x 极坐标 ρ=2cosθ,θ∈[-π/2,π/2]
∫∫D y²/x² dxdy
=∫[-π/2,π/2]tan²θdθ∫[0,2cosθ]ρdρ
=∫[-π/2,π/2]tan²θ * 2cos²θdθ
=4∫[0,π/2]sin²θ dθ
=2∫[0,π/2] (1-cos2θ) dθ
=π

Answer 2

x=rcosa,y=rsina, 代入圆方程得r^2=2rcosa，因此r=2cosa，因为r>=0，因此cosa>=0，故a的范围是【--pi/2，pi/2】，jacobian行列式为r，
原积分=积分（从--pi/2到pi/2）da 积分（从0到2cosa）sin^2a/cos^2a rdr
=积分（从--pi/2到pi/2）(sin^2a/cos^2a)*2cos^2a da
=pi。

追问

pi是什么啊？

追答

圆周率pi