Question

用通俗的话讲解，什么叫导数与微分？两者的区别是什么？

Answer 1

1、一元函数，可导就是可微，没有本质区别，完全是一个意思的两种表述：
可导强调的是曲线的斜率、变量的牵连变化率；
可微强调的是可以分割性、连续性、光滑性。

dx、dy: 可微性； dy/dx: 可导性

dy = (dy/dx)dx， 在工程应用中,变成： Δy = (dy/dx)Δx

这就是可导、可微之间的关系：
可导 = 可微 = Differentiable。
导数 = 微分 = Differentiation，Derivative
不可导 = 不可微 = Undifferentiable

【说穿了，可以说是中文在玩游戏，也可以说中文概念更精确性】

2、二元和二元以上的多元函数有偏导(Partial Differentiation)的概念，
有全导数、全微分(Total Differentiatin)的概念。
【说穿了，可以说也是中文在玩游戏，也可以说中文概念更有思辩性】
多元函数有方向导数(Directional Differentiation/Derivative)的概念

一元函数，无所谓偏导、全导，也没有全微分、偏微分、方向导数的概念。

3、对于多元函数，沿任何坐标轴方向的导数都是偏导数，
a、沿任何特定方向的导数都是方向导数。
b、方向导数取得最大值的方向导数就是梯度(Gradient)。
c、英文中有全导数的概念(Total Differentian),只是我们的教学不太习惯
这样称呼，我们习惯称为全微分，其实是完全等同的意思。

一元函数没有这些概念。偏导就是全导，全导就是偏导。

4、dx、dy、du都是微分，只有在写成du=(??f/??x)dx + (??f/??y)dy时，
du才是全微分，而dx、dy就是偏微分，只是我们不习惯这样讲罢了。
而??f、??x、??y还是微分的概念，是df、dx、dy在多元函数中的变形。

x的单独变化会引起u的变化，du=(??f/??x)dx
y的单独变化会引起u的变化，du=(??f/??y)dy
其中的 ??f/??x、??f/??y 就是二元函数f分别对x,y的偏导数。
??f/??x 就是由于x的变化单独引起的f的变化率，部分原因引起，为“偏”；
??f/??y 就是由于y的变化单独引起的f的变化率，部分原因引起，为“偏”。

x、y同时变化，引起u的变化是：
du=(??f/??x)dx + (??f/??y)dy
这就是全微分，所有原因共同引起为“全”。

总而言之，言而总之：
对一元函数，可导与可微没有本质区别；
对多元函数，可微是指所有方向可以偏导，可微的要求更高。

Answer 2

△Y / △X 叫导数

dY / dX 叫微分  

这里 dX = △X  当dX=△X->0 时  导数=微分

Answer 3

导数就是求曲线的切线斜率，微分就是一个近似值。
一元函数，可微与可导等价。