Question

高数，共三题，求解（详细过程）。

Answer 1

5.求不定积分∫dx/[x²(1+x)²]
解：拆项：1/x²(1+x)²=(1/x²)-(2/x)+1/(1+x)²+2/(1+x)【右边通分、相加、化简后等于左边】
故原式=∫dx/x²-2∫dx/x+∫dx/(1+x)²+2∫dx/(1+x)=-(1/x)-2ln∣x∣-1/(1+x)-2ln∣1+x∣+C
4。已知y=ln[x+√(1+x²)]，求dy
解：y'=[1+x/√(1+x²)]/[x+√(1+x²)]=[x+√(1+x²)]/[1+x²+x√(1+x²)]
故dy={[x+√(1+x²)]/[1+x²+x√(1+x²)]}dx
3。已知y=ln{[√(1-e^x)+1]/[√(1+e^x)-1]}，求y'
解：y=ln[√(1-e^x)+1]-ln[√(1+e^x)-1]
故y'={-(e^x)/[2√(1-e^x)]}/[√(1-e^x)+1]-{(e^x)/[2√(1+e^x)]}/[√(1+e^x)-1]
=-(e^x)/[2(1-e^x)+2√(1-e^x)]-(e^x)/[2(1+e^x)-2√(1+e^x)]
=-(1/2)e^x{1/[(1-e^x+√(1-e^x)]-1/[1+e^x-√(1+e^x)]}