Question

设函数f(x)=x²-1,对任意x≥1,f(x/m)-4m²f(x)≤f(x)+4f(m)恒成立，则实数m的取值范围是_______.

Answer 1

已知函数f(x)=x²-1，①

对任意X∈〔1,+∞），f(x/m)-4m^2f(x)≤f(x-1)+4f(m) ②

将①代入②得x^2/m^2-1-4m^2(x^2-1)≤[（x-1)^2-1）+4（m^2-1)

简化之后可得： 2x+3≤（4m^2-1/m^2+1） x^2

又因为X∈〔1,+∞），即x≠0，可得4m^2-1/m^2+1≥（2x+3）/ x^2

设y=（2x+3）/ x^2，求导可知X∈〔1,+∞），y为单调递减

Ymax=5（x=1）

因为4m^2-1/m^2+1≥（2x+3）/ x^2恒成立

所以4m^2-1/m^2+1≥5

可解得m的取值范围

 

凑合着看吧，:-D

Answer 2

先移项把x和m分开；
f(x/m)-4f(m)≤f(x)+4m²f(x)
(1/m^2) (f(x))-1 + 1/m^2- 4f(m)) ≤f(x) + 4m²f(x)
1/m^2- 4f(m) -1≤[ 4m²+1+1/m^2 ] f(x)
x≧1时，f（x）递增，且中括号中大于0，故只需在x=1时，不等式成立即可；
1/m^2- 4f(m)-1≤4m²+1+1/m^2 得：m^2≥1/4
m≥0.5或者m≦-0.5.

Answer 3

m>1或m<-1

追问

why?