Question

在△ABC中,求证:sinA<sinB的充分必要条件是A<B。

Answer 1

证明：
充分性：
若sinA<sinB，即sin[(A+B)/2+(A-B)/2]<sin[(A+B)-(A-B)/2]
sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]+cos[(A+B)/2]sin+[(A-B)/2]<
<sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]-cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]
cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]<0, 因为 0<(A+B)/2<pai/2 -pai/2<(A-B)/2<pai/2
所以，sin[(A-B)/2]<o, (A-B)/2<0; A<B
必要性：
a)若B<pai/2, 则0<A<B<pai/2,而sinx在(0,pai/2)上单调增，所以sinA<B
b)若B>pai/2,A+B<pai , 0<A<pai-B<pai/2,而sinx 在(0,pai/2)上单调增，所以sinA<sinB
总之，sinA<sinB