Question

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2,F1F2分别是它的左,右焦点,如果在椭圆上存在一点M(x0,y0),使得<F1MF2=π/3,

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2,F1F2分别是它的左,右焦点,如果在椭圆上存在一点M(x0,y0),使得<F1MF2=π/3,求离心率e的取值范围

Answer 1

椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0),短轴上顶点B(0,b)，
∠F1MF2的最大值为∠F1BF2
在椭圆上存在一点M(x0,y0)，使得∠F1MF2=π/3
∴∠F1BF2≥π/3
那么∠F1BO>=π/6
tan∠F1BO>=tanπ/6=1/√3
即c/b>=1/√3
所以b<=√3c
所以b^2<=3c^2
即a^2-c^2<=3c^2
所以a^2<=4c^2
所以e^2>=1/4
所以1/2=<e<1
所以离心率e的取值范围是【1/2,1)

至于为什么，∠F1MF2的最大值为∠F1BF2。可以设F1M=x, F2M=y.
那么cos∠F1MF2=(x^2+y^2-4c^2)/2xy=[(x+y)^2-2xy-4c^2]/2xy
=(4a^2-4c^2-2xy)/2xy=(b^2/xy)-1

因为x+y=2a, 且xy<=(x+y)^2/4=a^2。当且仅当x=y时，取等号。
所以当x=y时，就是M点在B处时，
xy取到最大值。cos∠F1MF2=(b^2/xy)-1 取到最小值。
此时，∠F1MF2取到最大值。