Question

无偏估计量，统计学，求高手解题

X1,X2,X3....Xn 是服从指数分布的一组随机变量，并拥有密度方程f(x)=θ^(-1)e^(-x/θ)，X>0, A>0是这个分布的平均值,求参数 λ=θ^(-1)的无偏估计量，验证结果.

Answer 1

平均值A就是参数λ的无偏估计量,其中λ=θ^(-1).
验证如下：密度方程f(x)=θ^(-1)e^(-x/θ)就是以λ为参数的指数分布的密度方程，而以λ为参数的指数分布即是Gamma(λ,1)分布。由题意知，Xi~Exp(λ)=Gamma(λ,1)且是iid的，那么根据Gamma分布的可加性可知 X1+X2+...+Xn 服从Gamma(nλ,1). 由Gamma分布的性质知，若一个随机变量服从Gamma(a,b)分布，那么它的期望就是a/b. 于是E(X1+X2+...+Xn)=nλ, 从而E[(X1+X2+...+Xn)/n]= λ, 这就说明平均值是参数λ的一个无偏估计量。