Question

在三角形ABC中,BD,CE是AB上的中线,BD与CE相交于点O.BO与OD的长度有什么关系?BC边上的中线是否一定过点O...

在三角形ABC中,BD,CE是AB上的中线,BD与CE相交于点O.BO与OD的长度有什么关系?BC边上的中线是否一定过点O?为什么?

Answer 1

BO=2DO,

BC边上的中线一定过O点。

证明：连接AO,设M,N分别是BO,CO的中点，连接EM,DN,则：
EM平行并等于AO的一半，DN平行并等于AO的一半
所以：EM平行并等于DN
所以：四边形EMND是平行四边形
所以：MO=OD
所以：BM=MO=OD
所以：BO=2DO

延长AO交BC于G,延长DN交BC于H,延长EM交BC于Q,则：
由AG‖EQ‖DH,BM=MO=OD得知BQ=QG=GH=HC
所以；BG=GC
所以；BC边上的中线过O点。

Answer 2

连接AO并延长交BC于G,则G为BC的中点 连接GN并延长交AC于F 因N为OC的中点 所以GF//BD,GF=1/2BD 所以F为DC的中点 因D为AC的中点 所以AD=2DF 所以AD=2/3AF 所以OD=2/3GF 所以BD=3OD 所以BO=2OD. 因N为CO的中点 所以DN为三角形AOC的中位线 所以三角形CDN的面积与三角形AOC的面积比为1：4 所以三角形AOC的面积＝4 因O为三角形ABC的重心 所以三角形ABC的面积＝4*3＝12

Answer 3

在三角形ABC中，BD,CE是边AC,AB上的中线,BD与CE相交于点O,OB与OD的长度关系？BC边上的中线是否一定过点O？为什么？（提示：作BO的中点M,CO的中点N，连接ED,EM,MN,ND）
1 ,OB=2OD
连接AO
∵N和D分别是AC，CO的中点
∴DN∥AO
同理得EM∥AO
所以EM∥DN
同理推出ED∥MN
得四边形EMND是平行四边形
所以MO=OD=OB/2
2 经过点O
延长AO交BC于H，再延长CE至G，使OE＝EG。
∵AE=EB、OE=EG，∴AGBO是平行四边形，∴OB∥AG，∴DO∥AG，而AD＝CD，
∴CO＝OG。

由平行四边形OBGA，得：OA∥BG，∴OH∥BG，又CO＝OG，∴CH＝BH。
∴H为BC的中点
∴BC的中线必经过O点