Question

二重积分的正负和积分闭区域的正负有关吗？比如同样的被积函数，假设被积函数都是正的，但是闭区域分别是

第一象限和第四象限，那二重积分是不是变成负的了？还有就是定积分会不会也和闭区间正负有关？比如都是同样的正的被积函数，那闭区间在正半轴和负半轴会不会影响定积分值的正负？

Answer 1

定积分也是一样，无关。

因为f(x,y)>0

故f(x,y)>c>0

故∫∫f(x,y)dxdy>∫∫cdxdy=c*S>0. (S是积分区域的面积)

积分区域水平平移不影响其面积，故无关。

二重积分

二重积分是二元函数在空间上的积分，同定积分类似，是某种特定形式的和的极限。本质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分。

当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积。

当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积负值。

Answer 2

没有影响的，你用定积分做对比就很恰当，例如∫x^2dx，这里被积函数是恒正的，不论积分区间是[-1,0]还是[0,1]，积分的结果都是1/3>0，也就是说积分结果的正负只有被积函数的正负来决定，和积分区域无关（第二类曲线曲面积分除外）。回到二重积分，可以用二重积分的几何意义做一解释，二重积分∫∫f(x,y)dxdy的几何意义是以积分区域D为底，以曲面z=f(x,y)为顶面的曲顶柱体的体积，因此可以想象，如果顶面和底面都是一致的（即D和f(x,y)都相同）的两个二重积分，不论底面D位于坐标平面的什么位置，其积分的结果（体积）都是相同的。你说的那种情况对第二类曲线曲面积分适用，因为那里积分区域是规定了正方向的，而其它积分没有这个规定。

Answer 3

因为f(x,y)>0
故f(x,y)>c>0

故∫∫f(x,y)dxdy>∫∫cdxdy=c*S>0. (S是积分区域的面积)
积分区域水平平移不影响其面积.

故无关.
定积分也是一样,无关.