用函数单调性定义证明函数f(x)=2x+1/x在(1,+无穷)上的单调性。
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设1<x1<x2
f(x1)-f(x2)=2x1+1/x1-2x2-1/x2
=2(x1-x2)+(x2-x1)/x1x2
=(x1-x2)(2-1/x1x2)
∵1<x1<x2
∴x1x2>1
∴1/x1x2<1
则2-1/x1x2>0
而x1-x2<0
∴f(x1)-f(x2)<0
即f(x1)<f(x2）
∴f(x)=2x+1/x在(1,+无穷)上的单调增函数。
f(x1)-f(x2)=2x1+1/x1-2x2-1/x2
=2(x1-x2)+(x2-x1)/x1x2
=(x1-x2)(2-1/x1x2)
∵1<x1<x2
∴x1x2>1
∴1/x1x2<1
则2-1/x1x2>0
而x1-x2<0
∴f(x1)-f(x2)<0
即f(x1)<f(x2）
∴f(x)=2x+1/x在(1,+无穷)上的单调增函数。
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